Question

12、已知函数f（x）=m^x-log_nx（0＜m＜1＜n），正实数a，b，c，满足a＞b＞c＞0，且f（a）f（b）f（c）＜0，若存在实数d是函数y=f（x）的一个零点，那么下列四个判断：①；d＞1；②d＜a；③d＞b；④d＜b；⑤d＞c其中有可能成立的个数为（　　）

A、2

B、3

C、4

D、5

Answer 1

分析：由f（x）=m^x-log_nx=0（0＜m＜1＜n），可构造函数g（x）=m^x，h（x）=log_nx，在同一坐标系内作出两函数的图象，图象交点处横坐标就是d的值，故d＞1，①正确；
又a＞b＞c＞0，且f（a）f（b）f（c）＜0，所以f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0或者f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，若前者成立，必有a＞d，b＞d，c＞d，∴②，④正确；
若后者成立，必有c＜d，b＜d，故③，⑤正确；于是可得答案．

解答：解：∵f（x）=m^x-log_nx=0（0＜m＜1＜n），可构造函数g（x）=m^x，h（x）=log_nx，在同一坐标系内作出两函数的图象，图象交点处横坐标就是d的值，故d＞1，①正确；
又a＞b＞c＞0，且f（a）f（b）f（c）＜0，
所以f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0或者f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，
若前者成立，必有a＞d，b＞d，c＞d，∴②，④正确；
若后者成立，必有c＜d，b＜d，故③，⑤正确；
故答案为：D．

点评：本题旨在考查指数函数与对数函数的图象与性质，解题的关键是构造指数函数与对数函数，利用数形结合与分类讨论的数学思想解决．