Question

（2010•温州二模）若函数f（x）=sinx+acosx在区间[-

π

3

，

2π

3

]上单调递增，则a的值为（　　）

• A．

  3

• B．-

  3

• C．

  3

  3

• D．-

  3

  3

Answer 1

分析：f（x）=sinx+acosx⇒f（x）=

1+a2

sin（x+φ）⇒T=2π，函数f（x）=sinx+acosx在区间[-

π

3

，

2π

3

]上单调递增⇒f（

2

3

π）=

1+a2

，从而可求得a的值．

解答：解：∵f（x）=sinx+acosx=

1+a2

sin（x+φ），
∴其周期T=2π，又

2

3

π-（-

π

3

）=π，
∴f（x）_max=f（

2

3

π）=sin

2

3

π+acos

2

3

π=

1+a2

，即

3

2

-

a

2

=

1+a2

，①
将①等号两端分别平方得：

3

4

+

a2

4

-

3

2

a=1+a²，即

3

4

a2 +

3

2

a+

1

4

=0，
解得a=-

3

3

．
故选D．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，难点在于利用辅助角公式将f（x）=sinx+acosx转化为f（x）=

1+a2

sin（x+φ）后，对f（

2

3

π）=sin

2

3

π+acos

2

3

π=

1+a2

的理解与应用，属于难题．