Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=a•2ⁿ+b，且a₁=3．
（1）求a、b的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由等比数列{a_n}的前n项和为S_n=a•2ⁿ+b，且a₁=3，知a₁=2a+b=3，a₂=4a+b-（2a+b）=2a，a₃=（8a+b）-（4a+b）=4a，由此能求出a、b的值及数列{a_n}的通项公式．
（2）b_n=

n

an

=

n

3•2n-1

，T_n=

1

3

（1+

2

2

+

2

22

+…+

n

2n-1

）由此能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵等比数列{a_n}的前n项和为S_n=a•2ⁿ+b，且a₁=3．

∴a₁=2a+b=3，a₂=4a+b-（2a+b）=2a，a₃=（8a+b）-（4a+b）=4a，
∴公比q=

a3

a2

=2．
∵

a2

3

=

2a

3

=2，
∴a=3，b=-3．
∴a_n=3•2^n-1…6分
（2）b_n=

n

an

=

n

3•2n-1

，
T_n=

1

3

（1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

）④

1

2

T_n=

1

3

（

1

2

+

3

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

）⑤
④-⑤得：

1

2

T_n=

1

3

（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

）=

1

3

（

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

）
=

1

3

（2-

1

2n-1

-

n

2n

）=

2

3

（1-

1

2n

-

n

2n+1

），
∴T_n=

4

3

（1-

1

2n

-

n

2n+1

）．…..12分

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．