Question

已知函数f(x)=2x-

1

2|x|

．
（1）设集合A={x|f(x)≤

15

4

}，B={x|x²-6x+p＜0}，若A∩B≠∅，求实数p的取值范围；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）解不等式f（x）≤

15

4

得到A，令g（x）=x²-6x+p，由A∩B≠∅，得g（2）＜0，解出即可；
（2）对不等式进行等价转化，分离出参数m后，转化为函数最值问题解决；

解答：解：（1）当x≥0时，f（x）≤

15

4

，即2x-

1

2x

≤

15

4

，解得0≤x≤2；
当x＜0时，f（x）≤

15

4

即0≤

15

4

成立，
综上，f（x）≤

15

4

的解集为{x|x≤2}，即A=（-∞，2]．
设g（x）=x²-6x+p，
因为A∩B≠∅，所以g（2）＜0，即4-6×2+p＜0，解得p＜8，
所以实数p的取值范围为：（-∞，8）．
（2）因为t∈[1，2]，所以f（t）=2t-

1

2t

，
2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，即2t(22t-

1

22t

)+m(2t-

1

2t

)≥0恒成立，
即（2t-

1

2t

）（2^2t+1+m）≥0，
因为2^2t-1≥3，所以2^2t+1+m≥0恒成立，即m≥-（1+2^2t），
因为t∈[1，2]，所以-（1+2^2t）∈[-17，-5]，则m≥-5．
故实数m的取值范围为[-5，+∞）．

点评：本题考查函数恒成立问题及不等式的求解、集合运算，具有一定综合性，恒成立问题的常用解决方法是转化为函数最值处理．