Question

已知函数，
（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（3）当时，证明：.

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：（1）先对函数进行求导，根据函数h（x）在[2，3]上是减函数，可得到其导函数在[2，3]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围；（2）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e²能够保证当x∈（0，e]时g（x）有最小值3；（3）结合（2）知的最小值为3，只须证明即可，令，则在上单调递增，∴的最大值为 故，即得证.
解：（1）令，则，
  （1分））∵在上是减函数，
∴在上恒成立，即在上恒成立 （2分）
而在上是减函数，∴的最小值为
  （4分）
（2）假设存在实数，使有最小值是3，∵，
若，则，∴在上为减函数，的最小值为
∴与矛盾， （5分）
若时，令，则
当，即，在上单调递减，在上单调递增
，解得   （7分）
当，即时，在上单调递减
∴与矛盾，  （9分）
（3）∵，由整理得， （10分）
而由（2）知的最小值为3，只须证明即可  （11分））
令，则在上单调递增，
∴的最大值为（12分）
故，即   （14分）
（接11分处另解， 即证，即证，
令，则，求得从而得证）.