Question

已知f(x)=x3+

1

2

mx2-2m2x-4（m为常数，且m＞0）有极大值-

5

2

，
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）的斜率为2的切线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，令f′（x）=0，进而确定函数的单调性，可得函数的极值，利用函数的极大值为-

5

2

，即可求得m的值；
（Ⅱ）求导函数，令f′（x）=2，由此可求切点的坐标，进而可得切线方程．

解答：解：（Ⅰ）求导函数f′（x）=3x²+mx-2m²=（x+m）（3x-2m）
令f′（x）=0，可得（x+m）（3x-2m）=0，∴x=-m或x=

2m

3

…．（2分）        
由列表得：

x	(-∞， -m)	-m	(-m， 2 3 m)	2 3 m	( 2 3 m， +∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

…．（4分）
∴f（-m）=-m3+

1

2

m3+2m3-4=-

5

2

，∴m=1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=x3+

1

2

x2-2x-4，则f'（x）=3x²+x-2
令f′（x）=2，可得3x²+x-2=2，∴x=1或x=-

4

3

…（8分）
由f(1)=-

9

2

，f(-

4

3

)=-

76

27

．
所以切线方程为：y+

9

2

=2(x-1)即4x-2y-13=0；…（10分）
或y+

76

27

=2(x+

4

3

)即54x-27y-4=0…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查导数的几何意义，正确求导是关键．