Question

已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-

2

3

时都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c²＜0成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由极值的定义可知

f′(1)=0 f′( 2 3 )=0

解此方程组可得a、b的值；
（Ⅱ）解法一通过分离常数把问题转化为求函数g（x）=x3-

1

2

x2-2x在区间[-1，2]上的最大值问题；解法二则把问题恒成立转化为求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值问题．

解答：解：（Ⅰ）由已知，f'（x）=3x²+2ax+b，∵在x=1与x=-

2

3

时取极值，
∴

f′(1)=0 f′( 2 3 )=0

即

3+2a+b=0 3×(- 2 3 )2+2a×(- 2 3 )+b=0

解得a=-

1

2

，b=-2，故a，b的值为：-

1

2

，-2
（Ⅱ）（解法一）由（I）知f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c．由f(x)-c2＜0得：x3-

1

2

x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立．
设g(x)=x3-

1

2

x2-2x(x∈[-1，2])，g′(x)=3x2-x-2．…（8分）
由g′(x)=0得，x=-

2

3

或x=1．，g(-1)=

1

2

，g(-

2

3

)=

22

27

，g(1)=-

3

2

，g(2)=2．…（10分）
∴[g（x）]_max=2，∴2＜c²-c解得，c＜-1或c＞2．，
∴c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．
（解法二）由（I）知f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c．，∴f'（x）=3x²-x-2．…（8分）
①当x∈[-1，-

2

3

)时，f′(x)＞0；②当x∈[-

2

3

，1)时，f′(x)＜0；
③当x∈[1，2]时，f′(x)＞0；∴当x=-

2

3

时，f(x)有极大值

22

27

+c．
而f(-1)=

1

2

+c，f(2)=2+c，…（10分）
∴当x∈[1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c．
对x∈[1，2]，f(x)＜

1

x

恒成立∴2+c＜c2，
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．…（12分）

点评：本题考查函数的极值与最值，通过求解函数的最值来解决恒成立问题是解决问题的关键，属中档题．