Question

已知f(x)=-x3+ax2-4

(a∈R)

，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=2时，对任意的m∈[-1，1]，n∈[-1，1]，求f（m）+f'（n）的最小值；
（3）若?x₀∈（0，+∞），使f（x）＞0，求a取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x，由导数解出函数的单调区间即可；
（2）可分别求f（m）、f′（n）的最小值，再求f（m）+f′（n）的最小值，
（2）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0即寻找f（x）_max＞0的变量a的范围．由此知可先求函数函数在（0，+∞）上的最大值，再令最大值大于0即可得到关于a的不等式，解此不等式求出它的取值范围

解答：解：（1）由题意知f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x
令f′（x）=0，得x=0或

4

3

令f′（x）＞0，可解得x∈（0，

4

3

），令f′（x）＜0，可解得x∈（-∞，0）∪（

4

3

，+∞），
故函数在x∈（0，

4

3

）上是增函数，在（-∞，0）与（

4

3

，+∞）上是减函数，
（2）由（1）知
当x在[-1，1]上变化时，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：

∴对于m∈[-1，1]，f（m）的最小值为f（0）=-4，
∵f′（x）=-3x²+4x的对称轴为 x =

2

3

且抛物线开口向下
∴对于n∈[-1，1]，f′（n）的最小值为f′（-1）=-7，
∴f（m）+f′（n）的最小值为-11．
（2）∵f′（x）=-3x（x-

2a

3

）
①若a≤0，当x＞0，时f′（x）＜0
∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4∴当a≤0时，不存在x₀＞0，使f（x₀）＞0
②若a＞0，则当0＜x＜

2a

3

时，f′（x）＞0，
当x＞

2a

3

时，f′（x）＜0从而f（x）在（0，

2

3

]上单调递增，在[

2a

3

，+∞）上单调递减，
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（

2a

3

）=-

8a3

27

+

4a2

9

-4
根据题意，

4a3

27

-4＞0，即a³＞27，解得a＞3
综上，a的取值范围是（3，+∞）

点评：本题考查利用求函数单调区间，求函数的最值，及函数恒成立问题的求解，转化的思想及推理判断的能力，解题的关键是熟练掌握导数的运算，利用导数研究函数的性质的方法，本题运算量较大，易出错，解题时要严谨认真，