Question

12．已知p：lg（x-a）＞0，q：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3＜0}\\{{x}^{2}-6x+8＜0}\end{array}\right.$，r：2x²-9x+b＜0，
（1）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
（2）若￢r是￢q的充分条件，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 由q：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3＜0}\\{{x}^{2}-6x+8＜0}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，设B={x|2＜x＜3}．
（1）由p：lg（x-a）＞0，得x＞a+1 设A={x|x＞a+1}，根据q是p的充分条件，可得B⊆A，即可得出．
（2）设C={x|2x²-9x+b＜0}，由￢r是￢q的充分条件，可得q⇒r，即B⊆C，令f（x）=2x²-9x+b，要使2＜x＜3满足不等式2x²-9x+b＜0，只需$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：由q：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3＜0}\\{{x}^{2}-6x+8＜0}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，∴q：2＜x＜3．设B={x|2＜x＜3}，
（1）由p：lg（x-a）＞0，得x＞a+1  设A={x|x＞a+1}，
∵q是p的充分条件，∴B⊆A，∴a+1≤2，解得a≤1．
故所求实数a的取值范围是{a|a≤1}．
（2）设C={x|2x²-9x+b＜0}，
∵￢r是￢q的充分条件，∴q⇒r，∴B⊆C，
∴2＜x＜3满足不等式2x²-9x+b＜0，
令f（x）=2x²-9x+b，
要使2＜x＜3满足不等式2x²-9x+b＜0，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{8-18+b≤0}\\{18-27+b≤0}\end{array}\right.$，∴b≤9，
故所求实数a的取值范围是{b|b≤9}．

点评 本题考查了不等式的解法与性质、简易逻辑的判定方法、集合之间的关系、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．