Question

7．函数f（x）（x∈R）满足f（4）=2，$f'（x）＜\frac{1}{3}$，则不等式$f（{x^2}）＜\frac{x^2}{3}+\frac{2}{3}$的解集为（-∞，-2）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 设F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x，根据题意可得函数F（x）在R上单调递减，然后根据f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3}$，可得f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{3}$＜f（4）-$\frac{4}{3}$，最后根据单调性可求出x的取值范围

解答 解：设F（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x，则F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{3}$，
∵f′（x）＜$\frac{1}{3}$，∴F′（x）=f′（x）-$\frac{1}{3}$＜0，
即函数F（x）在R上单调递减，
而f（x²）＜$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2}{3}$，
即f（x²）-$\frac{{x}^{2}}{3}$＜f（4）-$\frac{4}{3}$，
∴F（x²）＜F（4）而函数F（x）在R上单调递减，
∴x²＞4即x∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
故答案为：（-∞，-2）∪（2，+∞）

点评 本题主要考查了导数的运算，以及利用单调性解不等式和构造法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．