Question

15．如图，ABCD为平行四边形，BCEF是边长为1的正方形，$BF⊥BA，∠DAB=\frac{π}{3}，AB=2AD$．
（1）求证：BD⊥FC；
（2）求直线DE与平面DFC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理求得$BD=\sqrt{3}AD$，由此得到AD⊥BD，从而BD⊥BC，进而BF⊥平面ABCD，由此能证明BD⊥平面BCEF，从而得到BD⊥FC．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DFC的法向量，即可求直线DE与平面DFC所成角的正弦值．

解答 证明：（1）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得$BD=\sqrt{3}AD$，从而BD²+AD²=AB²，
∴BD⊥AD，又AD∥BC，故BD⊥BC…（3分）
又BF⊥BA，BF⊥BC，所以BF⊥底面ABCD，可得BD⊥BF，
∴BD⊥平面BCEF．故BD⊥FC…（6分）
解：（2）如图建立空间直角坐标系B-xyz，则$C（1，0，0），D（0，\sqrt{3}，0），F（0，0，1），E（1，0，1）$，
$\overrightarrow{DF}$=（0，-$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{FC}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{DE}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
设平面DFC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}y+z=0}\\{x-z=0}\end{array}\right.$
可取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），…（10分）
设直线DE与平面DFC所成的角为θ．
故sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{35}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$…（15分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查直线与平面所成角，考查向量知识的运用，是中档题．