Question

18．已知定义域为R的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函数．
（1）求a的值．
（2）判断f（x）的单调性并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）由条件利用f（0）=0，求得a的值．
（2）利用函数的单调性的定义证明f（x）在R上是减函数．

解答 解：（1）∵定义域为R的函数f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+1}$是奇函数，∴f（0）=$\frac{a-1}{2}$=0，∴a=1．
（2）由a=1，可得函数f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为减函数．
证明：设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）•{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，∴$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）•{（2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在R上是减函数．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的性质、函数的单调性的定义，属于基础题．