Question

7．设f（x）=ln（x+1）．
（1）求满足f（1-x）＞f（x-1）的x的取值的集合A；
（2）设集合B={x|1-m＜x＜2m}，若B⊆A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数f（x），把不等式f（1-x）＞f（x-1）转化为$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞-1}\\{x-1＞-1}\\{1-x＞x-1}\end{array}\right.$，求出解集即得集合A；
（2）讨论B=∅和B≠∅时，求出满足条件的m的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（x+1），x+1＞0，
∴x＞-1；
∴不等式f（1-x）＞f（x-1）等价于
$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞-1}\\{x-1＞-1}\\{1-x＞x-1}\end{array}\right.$，
解得0＜x＜1，
∴集合A={x|0＜x＜1}；
（2）∵集合B={x|1-m＜x＜2m}，且B⊆A，
∴当B=∅时，1-m≥2m，
解得m≤$\frac{1}{3}$；
当B≠∅时，即$\left\{\begin{array}{l}{1-m＜2m}\\{1-m≥0}\\{2m≤1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}$＜m≤$\frac{1}{2}$；
综上，实数m的取值范围是m≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了对数函数的性质与应用问题，也考查了集合的化简与应用问题，是综合性题目．