Question

16．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=-n+p，数列{b_n}的通项公式为b_n=3^n-4，设C_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，{a}_{n}≥{b}_{n}}\\{{b}_{n}，{a}_{n}＜{b}_{n}}\end{array}\right.$，在数列{c_n}中，c_n＞c₄（n∈N^*），则实数P的取值范围是（4，7）．

Answer 1

分析 化简a_n-b_n=-n+p-3^n-4，从而判断a_n-b_n，a_n，b_n的增减性，从而分类讨论以确定最小值，从而解得．

解答 解：∵a_n-b_n=-n+p-3^n-4，
∴a_n-b_n随着n变大而变小，
又∵a_n=-n+p随着n变大而变小，
b_n=3^n-4随着n变大而变大，
∴①若c₄=a₄，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}=-4+p≥{b}_{4}={3}^{4-4}}\\{{a}_{5}=-5+p＜{b}_{5}={3}^{5-4}}\\{-4+p＜{3}^{5-4}}\end{array}\right.$，
解得，5≤p＜7；
②若c₄=b₄，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=-3+p≥{b}_{3}={3}^{3-4}}\\{{a}_{4}=-4+p＜{b}_{4}={3}^{4-4}}\\{{b}_{4}={3}^{4-4}＜{a}_{3}=-3+p}\end{array}\right.$，
解得，4＜p＜5；
综上所述，p∈（4，7）；
故答案为：（4，7）．

点评 本题考查了数列的单调性的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想方法应用．