Question

5．在△ABC，边a，b，c的对角分别为A，B，C，tanC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$．
（1）求角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{3}$，求a²+b²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由两角差的正弦函数公式化简整理已知等式可得sin（C-A）=sin（B-C），利用三角形内角和定理即可得解C的值．
（2）设A=$\frac{π}{3}$+α，B=$\frac{π}{3}$-α，可得-$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{3}$，又由正弦定理a=2RsinA=2sinA，b=2RsinB=2sinB，从而利用三角函数恒等变换的应用化简可得a²+b²=4+2cos2α，求得2α的范围，进而可求范围-$\frac{1}{2}$＜cos2α≤1，由此得解a²+b²的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）因为tanC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，
即$\frac{sinC}{cosC}=\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，…（2分）
所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，
即sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB．
得sin（C-A）=sin（B-C）．…（4分）
所以C-A=B-C，或C-A=π-（B-C）（舍）．
即2C=A+B，得C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由C=$\frac{π}{3}$，设A=$\frac{π}{3}$+α，B=$\frac{π}{3}$-α，0＜A，B＜$\frac{2π}{3}$，知-$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{3}$．
又由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R$，可得：a=2RsinA=2sinA，b=2RsinB=2sinB，…（8分）
故a²+b²=4（sin²A+2sin²B）=4（$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos2B}{2}$）=$4-2[cos（\frac{2π}{3}+2α）+cos（\frac{2π}{3}-2α）]$
=4+2cos2α．…（10分）
由-$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{3}$，可得：-$\frac{2π}{3}$＜2α＜$\frac{2π}{3}$，-$\frac{1}{2}$＜cos2α≤1，
故3＜a²+b²≤6．
所以a²+b²的取值范围是（3，6]…12分

点评 本题主要考查了两角差的正弦函数公式，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．