Question

20．已知函数F（x）=e^x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若?x∈（0，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是$（{-∞，2\sqrt{2}}]$．

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性求出g（x），h（x）的表达式，然后将不等式恒成立进行参数分离，利用基本不等式进行求解即可得到结论．

解答 解：∵函数F（x）=e^x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，
∴e^x =g（x）+h（x），e^-x=g（x）-h（x），
∴g（x）=$\frac{{e}^{x}{+e}^{-x}}{2}$，h（x）=$\frac{{e}^{x}{-e}^{-x}}{2}$．
∵?x∈（0，2]使得不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，即$\frac{{e}^{2x}{+e}^{-2x}}{2}$-a•$\frac{{e}^{x}{-e}^{-x}}{2}$≥0恒成立，
∴a≤$\frac{{e}^{2x}{+e}^{-2x}}{{e}^{x}{-e}^{-x}}$=$\frac{{{（e}^{x}{-e}^{-x}）}^{2}+2}{{e}^{x}{-e}^{-x}}$=（e^x-e^-x）+$\frac{2}{{e}^{x}{+e}^{-x}}$，
设t=e^x-e^-x，则函数t=e^x-e^-x在（0，2]上单调递增，
∴0＜t≤e²-e^-2，
此时 不等式t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当t=$\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$时，取等号，∴a≤2$\sqrt{2}$，
故答案为：$（{-∞，2\sqrt{2}}]$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法，本题使用了基本不等式进行求解最值，综合性较强，运算量较大，属于中档题．