Question

17．已知函数f（x）=2sin2x（cos2x-sin2x）+1
（1）求函数f（x）的单调增区间和对称中心；
（2）若f（x）得图象C经过向右平移$\frac{π}{4}$得函数g（x）的图象，求g（x）的解析式，并求出当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，g（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式为$\sqrt{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），根据正弦函数图象由此求得它的单调性及对称中心；
（2）由函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求出g（x）的解析式，根据x的范围求出函数的值域．

解答 解：（1）f（x）=2sin2x（cos2x-sin2x）+1，
=2sin2xcos2x-2sin²2x+1，
=sin4x+cos4x，
=$\sqrt{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得：$\frac{kπ}{2}$-$\frac{3π}{16}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$，k∈Z，
则函数的单调增区间为[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{3π}{16}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$]，k∈Z，
令4x+$\frac{π}{4}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{4}-\frac{π}{16}$，k∈Z，
故函数的对称中心为（$\frac{kπ}{4}-\frac{π}{16}$，0），
（2）f（x）得图象C经过向右平移$\frac{π}{4}$得函数g（x）的图象，
g（x）=$\sqrt{2}$sin[4（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（4x-$\frac{3π}{4}$），
∴g（x）=$\sqrt{2}$sin（4x-$\frac{3π}{4}$），
x∈[0，$\frac{π}{4}$]，4x-$\frac{3π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
由正弦函数图象可知：当4x-$\frac{3π}{4}$=-$\frac{π}{2}$，x=$\frac{π}{16}$，取最小值-$\sqrt{2}$，
4x-$\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{4}$时，即x=$\frac{π}{4}$，取最大值1．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角的正弦和余弦公式及两角和辅助角公式，考查函数图象变换，正弦函数的单调区间和值域的运用，考查运算能力，属于中档题．