Question

5．设数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a_n；
（Ⅱ）若b_n=n（2-n）（a_n-1），且对任意的正整数n，都有b_n+$\frac{1}{4}$t≤t²，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （I）设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N^*）．n=1时，a₁=1-a₁，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，变形利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=n（2-n）（a_n-1）=（n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n}$，对n分类讨论，利用数列的单调性与一元二次不等式的解法即可得出．

解答 解：（I）设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N^*）．
∴a₁=1-a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n-a_n-（n-1-a_n-1），化为：2a_n=a_n-1+1，
变形为：a_n-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1-1），
∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为$-\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$．
∴a_n-1=$-\frac{1}{2}$×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴a_n=1-$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（II）b_n=n（2-n）（a_n-1）=（n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
可得：b₁=-$\frac{1}{2}$，b₂=0，b₃=$\frac{1}{8}$，
n≥3时，b_n＞0，b_n+1-b_n=$（n-1）×（\frac{1}{2}）^{n+1}$-（n-2）×$（\frac{1}{2}）^{n}$=$\frac{3-n}{2}$×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴n=3时，b₃=b₄，n≥4时，b_n+1＜b_n，此时数列{b_n}单调递减，
因此n=3或4时，b_n取得最大值$\frac{1}{8}$．
∵对任意的正整数n，都有b_n+$\frac{1}{4}$t≤t²，
∴（b_n）_max$≤{t}^{2}-\frac{1}{4}t$，
∴$\frac{1}{8}$$≤{t}^{2}-\frac{1}{4}t$，化为：8t²-2t-1≥0，
解得$t≥\frac{1}{2}$或t≤$-\frac{1}{4}$．
∴实数t的取值范围是$（-∞，-\frac{1}{4}]$∪$[\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、数列的单调性与一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．