Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知acosC+ccosA=2bcosA．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=1，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简acosC+ccosA=2bcosA，结合三角形的内角和，求解A即可．
（Ⅱ）通过余弦定理以及基本不等式求出b+c的范围，再利用三角形三边的关系求出b+c的范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因为acosC+ccosA=2bcosA，
所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，即sin（A+C）=2sinBcosA．
因为A+B+C=π，
所以sin（A+C）=sinB．
从而sinB=2sinBcosA．…（4分）
因为sinB≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$．
因为0＜A＜π，
所以A=$\frac{π}{3}$．…（7分）
（Ⅱ）由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
则1=b²+c²-bc，
∴（b+c）²-3bc=1，
即3bc=（b+c）²-1≤3[$\frac{1}{2}$（b+c）]2，
化简得，（b+c）²≤4（当且仅当b=c时取等号），
则b+c≤2，又b+c＞a=1，
综上得，b+c的取值范围是（1，2]．…（12分）

点评 本题考查正弦定理与余弦定理的应用，两角和的正弦公式，三角形的边角关系式，以及基本不等式求最值，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．