Question

1．如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，AB=AD，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若棱AP的中点为H，证明：HE∥平面ABCD．

Answer 1

分析 （1）由PD⊥底面ABCD得出PD⊥AC，由菱形性质得出BD⊥AC，故而AC⊥平面PBD，于是得出平面PAC⊥平面PBD；
（2）取AD的中点F，连接FH、FC．通过证明四边形HFCE为平行四边形得出HE∥CF，于是HE∥平面ABCD．

解答 证明：（1）∵ABCD是平行四边形，AB=AD
∴ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，又BD?平面PBD，PD?平面PBD，BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PBD．∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（2）取AD的中点F，连接FH、FC．
∵H，F是AP，AD的中点，
∴$FH\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}PD$，又∵$EC\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}PD$，
∴$FH\underline{\underline{∥}}EC$，
∴四边形HFCE为平行四边形．
∴HE∥CF，又HE?平面ABCD，CF?平面ABCD
∴HE∥平面ABCD．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定，构造平行线与垂线是证明关键，属于中档题．