Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞），都有f(

x

y

)=f(x)-f(y)，且当x＞1时f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x²-9）＞f（x）-3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（Ⅱ）利用函数单调性的定义，设0＜x₁＜x₂，结合f（

x

y

）=f（x）-f（y）即可判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）结合（Ⅱ），利用函数的单调性脱去“f”解关于x的不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=1，则f（1）=f（1）-f（1）=0；
（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
∵当x＞1时f（x）＜0，
∴f（

x2

x1

）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）为（0，+∞）上的减函数；
（Ⅲ）∵f（2）=-1，
∴f（4）=f（

4

2

）+f（2）=2f（2）=-2，
f（8）=f（

8

2

）+f（2）=-2+f（2）=-3，
∴f（x²-9）＞f（x）-3?f（x²-9）＞f（x）+f（8）=f（

x

8

），
∴f（

x2-9

8

）＞f（x），
∵f（x）为（0，+∞）上的减函数，
∴0＜

x2-9

8

＜x，
解得3＜x＜9．
∴不等式f（x²-9）＞f（x）-3的解集为：{x|3＜x＜9}．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查赋值法，突出考查函数单调性的应用，考查解不等式的能力，属于中档题．