Question

8．已知函数f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$．
（1）求f（$\frac{1}{2015}$）+f（-$\frac{1}{2015}$）的值；
（2）当x∈（-a，a]．其中a∈（0，1），a是常数时，函数f（x）是否存在最小值？若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义，可证出f（x）是定义在（-1，1）的奇函数，由此可得f（ $\frac{1}{2015}$）+f（-$\frac{1}{2015}$）的值等于0；
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，利用作差、因式分解、判断符号的方法，证出f（x）为（-1，1）上的减函数．因此，当a∈（0，1），且a为常数时，f（x）在区间（-a，a]的最小值为f（a）=-a+log₂$\frac{1-a}{1+a}$．

解答 解：（1）由$\frac{1-x}{1+x}$＞0，得-1＜x＜1，可得函数的定义域为（-1，1）
∵f（-x）=-（-x）+log₂$\frac{1-x}{1+x}$=x-log₂$\frac{1-x}{1+x}$=-f（x）
∴f（x）是定义在（-1，1）的奇函数
因此，f（-$\frac{1}{2015}$）=-f（$\frac{1}{2015}$），可得f（$\frac{1}{2015}$）+f（-$\frac{1}{2015}$）的值等于0；
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₁）-f（x₂）=-x₁+log₂$\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$-（-x₂+log₂$\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$）=（x₂-x₁）+log₂$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$
且x₂-x₁＞0，$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$=$\frac{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}-{x}_{1}}{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1
∴log₂$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
由此可得f（x）为（-1，1）上的减函数，
∴当x∈（-a，a]（其中a∈（0，1），且a为常数）时，函数有最小值为f（a）=-a+log₂$\frac{1-a}{1+a}$

点评 本题给出含有对数符号的基本初等函数，求特殊的函数值并讨论函数在区间（-a，a]上的最小值，着重考查了函数的奇偶性、单调性及其应用的知识点，属于中档题．