Question

19．若x≤0时，不等式a≥$\frac{{2}^{x}-1}{{4}^{x}}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 a≥$\frac{{2}^{x}-1}{{4}^{x}}$恒成立，只需求$\frac{{2}^{x}-1}{{4}^{x}}$的最大值即可．令令t=2^x，f（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$，利用导数判断函数单调性，进而得出函数最大值．

解答 解：令t=2^x  0＜t≤1
∴$\frac{{2}^{x}-1}{{4}^{x}}$=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$
令f（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$
∴f'（t）=$\frac{-t（t-2）}{{t}^{4}}$＞0
∴f（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$递增，则f（t）最大值为f（1）=0
∴a≥0．

点评 考察了恒成立问题和利用导数求函数的最大值，属于常规题型，应熟练掌握．