Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，点P在底面ABCD上的射影为A，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD=1，E为棱AD的中点，M为棱PA的中点．
（1）求证：BM∥平面PCD；
（2）若∠ADP=45°，求二面角A-PC-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）法一：取PD的中点N，连接MN，CN．证明BM∥CN，然后证明BM∥平面PCD．
（法二：连接EM，BE．通过证明平面BEM∥平面PCD，然后证明BM∥平面PCD）
（2）以A为原点，以$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$的方向分别为x轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz求出相关点的坐标，求出平面PAC的一个法向量，平面PCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A-PC-E的余弦函数值．

解答 解：（1）证明：法一：取PD的中点N，连接MN，CN．
在△PAD中，N、M分别为棱PD、PA的中点∴$MN∥\frac{1}{2}AD$
∵$BC∥\frac{1}{2}AD$∴四边形BCNM是平行四边形∴BM∥CN
∵BM?平面PCD，CN?平面PCD∴BM∥平面PCD…（5分）
（法二：连接EM，BE．
在△PAD中，E、M分别为棱AD、PA的中点∴MN∥PD
∵AD∥BC，$BC=CD=\frac{1}{2}AD=1$
∴四边形BCDE是平行四边形∴BE∥CD∵BE∩ME=E，MN∥PD，BE∥CD
∴平面BEM∥平面PCD∵BM?平面BEM∴BM∥平面PCD）
（2）以A为原点，以$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$的方向分别为x轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz…（6分）
则A（0，0，0），C（2，1，0），E（1，0，0）．
∵点P在底面ABCD上的射影为A
∴PA⊥平面ABCD
∵∠ADP=45°∴PA=AD=2
∴P（0，0，2）
∴$\overrightarrow{PE}=（1，0，-2）$，$\overrightarrow{EC}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$…
..（7分）
设平面PAC的一个法向量$\overrightarrow m=（a，b，c）$，
则$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 2a+b-2c=0\end{array}\right.$
设a=1，则$\overrightarrow m=（1，-2，0）$…..（9分）
设平面PCE的一个法向量为$\vec n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}x-2z=0\\ x+y=0\end{array}\right.$，
设x=2，则$\overrightarrow n=（2，-2，1）$…（10分）
∴cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$…..（11分）
由图知：二面角A-PC-E是锐二面角，设其平面角为θ，则
cosθ=|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．