Question

8．已知复数z₁是方程x²-2x+2=0的根，复数z₂满足（$\overline{{z}_{2}}$+2）（1-2i）=6-7i（i为虚数单位），求|$\overline{{z}_{1}}$•z₂|的值．

Answer 1

分析 设z₁=a+bi（a，b∈R），代入可得（a+bi）²-2（a+bi）+2=0，化为a²-b²-2a+2+（2ab-2b）i=0，利用复数相等即可解出．设Z₂=m+ni，（m，n∈R）．由于复数z₂满足（$\overline{{z}_{2}}$+2）（1-2i）=6-7i，可得m+2-ni=$\frac{6-7i}{1-2i}$，利用复数的运算法则及其复数相等解出即可．

解答 解：设z₁=a+bi（a，b∈R），则（a+bi）²-2（a+bi）+2=0，化为a²-b²-2a+2+（2ab-2b）i=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}-2a+2=0}\\{2ab-2b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=±1}\end{array}\right.$，∴Z₁=1±i．
设Z₂=m+ni，（m，n∈R）．
∵复数z₂满足（$\overline{{z}_{2}}$+2）（1-2i）=6-7i，
∴m+2-ni=$\frac{6-7i}{1-2i}$=$\frac{（6-7i）（1+2i）}{（1-2i）（1+2i）}$=$\frac{20+5i}{5}$=4+i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+2=4}\\{-n=1}\end{array}\right.$，解得m=2，n=-1．
∴z₂=2-i，
∴$\overline{{z}_{1}}•{z}_{2}$=（1+i）（2-i）=3+i，∴|$\overline{{z}_{1}}$•z₂|$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
或$\overline{{z}_{1}}•{z}_{2}$=（（1-i）（2-i）=1-3i，∴|$\overline{{z}_{1}}$•z₂|=$\sqrt{{1}^{2}+（-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了复数的运算法则及其复数相等、共轭复数的定义、实系数一元二次方程等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．