Question

17．证明：幂函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{x}}$在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 ?x₂＞x₁＞0，则$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}$＞0，x₁-x₂＜0．作差f（x₂）-f（x₁），判断符号即可得出．

解答 证明：?x₂＞x₁＞0，则$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}$＞0，x₁-x₂＜0．
∴f（x₂）-f（x₁）=$\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}}-\frac{1}{\sqrt{{x}_{1}}}$=$\frac{\sqrt{{x}_{1}}-\sqrt{{x}_{2}}}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）}{\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}（\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}）}$＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）．
∴幂函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{x}}$在（0，+∞）上是减函数．

点评 本题考查了减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．