Question

7．设sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$，且θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），求$\frac{cosθ}{1-si{n}^{2}θ}$-$\frac{sinθ}{co{s}^{2}θ-1}$的值．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinθcosθ以及sinθ+cosθ的值，从而求得要求的式子的值．

解答 解：∵sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$，且θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），∴1-2sinθcosθ=$\frac{1}{4}$，
求得sinθcosθ=$\frac{3}{8}$＞0，∴θ∈（0，$\frac{π}{2}$ ），
∴sinθ+cosθ=$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$=$\sqrt{1+2sinθcosθ}$=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴$\frac{cosθ}{1-si{n}^{2}θ}$-$\frac{sinθ}{co{s}^{2}θ-1}$=$\frac{cosθ}{{cos}^{2}θ}$+$\frac{sinθ}{{sin}^{2}θ}$=$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{1}{sinθ}$=$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$=$\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{\frac{3}{8}}$=$\frac{4\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系进行求值，属于基础题．