Question

下面有5个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π．
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}．
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．
④函数y=sin(2x+

π

3

)图象的对称轴方程可能是x=

π

12

．
⑤函数y=sin(x-

π

2

)在[0，π]上是减函数．
其中，真命题的编号是

 

（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析：根据二倍角的余弦公式，平方差公式，同角三角形函数平方关系，化简解析式，再由余弦函数的周期性，可以判断①的真假；由终边相同的角的集合表示法，可以判断②的真假；根据正弦函数的图象和性质，可以判断③的真假；根据函数图象的平移变换法则，可以判断④的真假；根据诱导公式，将函数化为余弦型，进而根据余弦函数的单调性，可以判断⑤的真假；进而得到答案．

解答：解：函数y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos^•x）•（sin²x-cos²x）=-cos2x的最小正周期是π，故①正确；
终边在y轴上的角的集合是{α|α=

π

2

+kπ，k∈Z}，故②错误；
在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点，故③错误；
函数y=sin(2x+

π

3

)图象的对称轴方程是x=

π

12

+

k

2

π，k∈Z，当k=0时，x=

π

12

，故④正确；
函数y=sin(x-

π

2

)=-cosx在[0，π]上是增函数，故⑤错误
故答案为：①④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，余弦型函数的周期性，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，并判断出题目中4个命题的真假，是解答本题的关键．