【题目】在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为(米/单位时间),单位时间内用氧量为
(
为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为
(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为
.
(1)将表示为
的函数;
(2)设0<≤5,试确定下潜速度
,使总的用氧量最少.
【答案】(1);
(2)当时,下潜速度为
时,用氧量最小值为
;
当时,,下潜速度为5时,用氧量最小值为
【解析】
试题分析:本题考查函数建模与求函数最值相关问题.(1)根据实际意义,列出在各个阶段的用氧量相加即可求出函数解析式;(2)由函数解析式,得用基本不等式和导数研究函数的最值.
试题解析:(1)潜入水底用时,用氧量为
,
水底作业用氧量为
返回水面用时,用氧量为
所以.
(2)
当且仅当,即
时取等号,
当即
时,
时,
的最小值为
.
当时,即
时,
,
因此函数在
上是减函数,
所以当时,
的最小值为
.
综上,当时,下潜速度为
时,用氧量最小值为
;
当时,,下潜速度为5时,用氧量最小值为
.
考点:实际应用,函数建模,求函数最值,基本不等式.
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【题目】甲、乙两人各射击1 次击中目标的概率分别三分之二和四分之三,假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率.
(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率.
(3)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击,问:乙恰好射击5次后被终止射击的概率是多少?
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【题目】在正方形中,
,
分别为棱
和棱
的中点,则下列说法正确的是( )
A.∥平面
B.平面
截正方体所得截面为等腰梯形
C.平面
D.异面直线
与
所成的角为60°
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【题目】下列是合情推理的是( )
①由正三角形的性质类比出正三棱锥的有关性质;
②由正方形矩形的内角和是,归纳出所有四边形的内角和都是;
③三角形内角和是,四边形内角和是
,五边形内角和是
,由此得出凸
边形内角和是
;
④小李某次数学考试成绩是90分,由此推出小李的全班同学这次数学考试的成绩都是90分.
A.①②B.①②③C.①②④D.②③④
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【题目】在如图所示的多面体ABCDE中,已知ABCD是边长为2的正方形,平面ABCD⊥平面ABE,∠AEB=90°,AE=BE.
(1)若M是DE的中点,试在AC上找一点N,使得MN∥平面ABE,并给出证明;
(2)求多面体ABCDE的体积.
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【题目】已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l′的方程,使得:
(1)l′与l平行且过点(-1,3);
(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形的面积为4.
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【题目】如图,三棱锥中,
底面ABC,M是 BC的中点,若底面ABC是边长为2的正三角形,且PB与底面ABC所成的角为
. 求:
(1)三棱锥的体积;
(2)异面直线PM与AC所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)
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