试题分析:(Ⅰ)设
为函数
的极值点,只需对
求导,让它的导函数在
处的值为零,这样得到
的关系式
,从而证明
;(Ⅱ)当
时,
恒成立,求正整数
的最大值,这是恒成立问题,解这类为题,只需分离参数,把含有参数放到不等式一边,不含参数放到不等式的另一边,转化为求不含参数一边的最大值或最小值即可,本题分离参数得
,不等式的右边就是
,这样转化为求
的最小值问题,由于
带有对数函数,需用极值法求最值,只需对
求导,得
,令
时,即
,无法解方程,可令
,判断单调性,利用根的存在性定理来确定根的范围,从而求解.
试题解析:(Ⅰ)因为
,故
,
为函数
的极值点,
, 即
,于是
,故
;
(Ⅱ)
恒成立,分离参数得
,则
时,
恒成立,只需
,
,记
,
,
在
上递增,又
,
在
上存在唯一的实根
, 且满足
,
当
时
,即
;当
时
,即
,
,故正整数
的最大值为
.