Question

已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数满足：
①对任意的，，当时，有成立；
②对恒成立.求实数的取值范围.

Answer 1

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.

试题分析：（1）先对求导，分析出导函数是单调递增的，并得.从而得到时，，当时，.即求出函数的单调区间；（2）先由（1）中的单调区间知异号.再证明结论：当时，对任意的有成立；时，对任意的有成立.从而得出当时，有成立.然后在的范围内研究对恒成立问题.通过在求的最值，再由最大值与最小值的差要小于或等于从而得到实数的取值范围.
试题解析：（1），
令，则，从而在上单调递增，即在内单调递增，又，
所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增.              4分
（2）①由（1）可知，当， 时，必异号，不妨设，. 我们先证明一个结论：当时，对任意的有成立；时，对任意的有成立.
事实上，    
构造函数，
，(当且仅当时等号成立).又
当时，，所以在上是单调递减，此时，对任意的有成立.当时，，所以在上是单调递增，此时对任意的有成立；
当时，，由于在上单调递减，所以，.同理，.
当时，当且仅当时，有成立.         8分
②时，由（1）可得，
又
构造函数，所以在上单调递增，又所以，当时，即，
所以.
因为,若要题设中的不等式恒成立，只需成立即可.
构造函数,所以在上递增. 又所以，由得,                 12分
又所以, 因此的取值范围为.                 13分