Question

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为x且1+

tanA

tanB

=

2c

b

．
（Ⅰ）求角f（x）=ax²-4bx+1；
（Ⅱ）若a=（0，-1），b（cosB，2cos 2

C

2

），试求|y=f（x）|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简等式的右边，左边通分后，分子利用两角和与差的正弦函数公式变形，根据三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+B）=sinC，把已知等式变形求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）根据平面向量的加法法则计算出

a

+

b

，然后得出|

a

+

b

|²，根据A的度数得出B+C的度数，进而用C表示出B，代入可得到关于B的关系式，利用二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据B的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的单调性得到正弦函数的最大值，即可得到|

a

+

b

|²的最小值，开方可得所求式子的最小值．

解答：解：（Ⅰ）已知的等式1+

tanA

tanB

=

2c

b

化简得：
1+

sinAcosB

sinBcosA

=

2sinC

sinB

（2分）
即

sinBcosA+sincosB

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，
∴

sin(A+B)

sinBcosA

=

2sinC

sinB

，又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴cosA=

1

2

，（5分）
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

；（6分）

（Ⅱ）

a

+

b

=（cosB，2cos²

C

2

-1）=（cosB，cosC），（8分）
∴|

a

+

b

|²=cos²B+cos²C=cos²B+cos²（

2π

3

-B）=1-

1

2

sin（2B-

π

6

），（10分）
∵A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，∴B∈（0，

2π

3

），
从而-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

，（12分）
∴当sin（2B-

π

6

）=1，即B=

π

3

时，|

a

+

b

|²取得最小值

1

2

，
所以|

a

+

b

|min=

2

2

．（14分）

点评：此题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，正弦函数的单调性以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理、公式及法则是解本题的关键．