Question

在直角坐标平面内，已知点，是平面内一动点，直线、斜率之积为.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；
(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

（1）（2）

(Ⅰ)设点的坐标为，依题意，有
 .               ………………… 3分
化简并整理，得
.
∴动点的轨迹的方程是.          ………………… 5分
(Ⅱ)解法一：依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为, ………6分
由方程组
  消去，并整理得
       
设,,则
  ，……………………………………………………… 8分
∴
∴,
,          …………………………………………… 10分
(1)当时，；          …………………………………………… 11分
(2)当时,


.
.
且 .               ………………………………………… 13分
综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.……………… 14分
解法二：依题意，直线过点且斜率不为零.
(1)    当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，；  …………6分
(2)    当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为,  …………7分
由方程组
  消去，并整理得
       
设,,则
  ，……………………………………………………… 8分
∴
,
,             ………………… 10分

.
.
且 .               ………………………………………… 13分
综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.……………… 14分