【题目】已知函数.
(1)若函数有两个不同的零点,求实数
的取值范围;
(2)求当时,
恒成立的
的取值范围,并证明
.
【答案】(1)ae (2)见解析
【解析】试题分析:(1) 函数有两个不同的零点,等价于
=
在
(,+
)上有两实根,利用导数研究函数
的单调性,结合函数图象即可得结果;(2)结合(1)可得
<
,令
,
,各式相加,化简即可得结果.
试题解析:(1) f(x)有两个零点,
在(
,+
)上有两实根,显然a
=
,令g(x)=
, g/(x)=
,令g/(x)=0,x
∴g(x)在(0, )单调递增,在(
,+
)单调递减,又g(
)=
,x>1时g(x)>0.且
g(x)
0
∴=
有两根须0<
<
, ∴a
e
(2)x2-alnx
0恒成立,即x2>2alnx对x>1恒成立.当a
时,显然满足。
当a>时,
>
,由(1)知,(g(x))MAX=
,
, ∴0<a<e
综上x2-alnx
0对x>1恒成立的a的范围为a<e
令a=2,则x2-2lnx
0对x>1恒成立,即lnx<
x2,令x=
,k=2,3,4,…,n
lnk<k,ln2
, ln3
, ln4
,…,lnn<
n,
∴ln2+ ln3+ ln4+…+ lnn<=
.
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【题目】已知A、B、C、D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,AC∥DE,AC与BD相交于H点.
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.
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【题目】如图,某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道,赛道的前一部分为曲线段FBC,该曲线段是函数 (A>0,ω>0),x∈[﹣4,0]时的图象,且图象的最高点为B(﹣1,2).赛道的中间部分为长
千米的直线跑道CD,且CD∥EF.赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧
.
(1)求ω的值和∠DOE的大小;
(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”,矩形的一边在道路EF上,一个顶点在半径OD上,另外一个顶点P在圆弧 上,且∠POE=θ,求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值.
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【题目】若直线l1:y=x,l2:y=x+2与圆C:x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等,则m=( )
A.0或1
B.0或﹣1
C.1或﹣1
D.0
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【题目】已知点A(0,2)为圆C:x2+y2﹣2ax﹣2ay=0(a>0)外一点,圆C上存在点P使得∠CAP=45°,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1)
B.
C.
D.
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【题目】已知f(x)=2sin4x+2cos4x+cos22x﹣3.
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)求函数f(x)在闭区间[ ]上的最小值并求当f(x)取最小值时,x的取值集合.
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