Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数m，使得a_m，a_m+1，a_m+2成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）当n=1时，a₁=1
当n=2时，S₂=2，∴a₂=S₂-a₁=1…（2分）
当n≥3时，a_n=S_n-S_n-1=2n-4
∴…（6分）
（2）①当m=1时a₁=1，a₂=1，a₃=2不能成等比数列…（8分）
②当m=2时a₂=1，a₃=2，a₄=4，成等比数列…（10分）
③当m≥3时，若a_m，a_m+1，a_m+2成等比数列，
则a_m•a_m+2=a_m+1²即（2m-4）•2m=（2m-2）²
得4=0矛盾，不可能成立 …（9分）
综上所述，得存在m=2使得a_m，a_m+1，a_m+2成等比数列…（14分）
分析：（1）根据题中给出的式子先求出当n=1和n=2时，a_n的表达式，再用公式求出当n≥3时，a_n=S_n-S_n-1=2n-4，最后综合可得数列{a_n}的通项公式；
（2）首先根据m=1和m=2验证a_m，a_m+1，a_m+2成等比数列是否成立，然后讨论当m≥3时，假设a_m，a_m+1，a_m+2成等比数列成立，用等比中项列式列式，得到矛盾，从而说明m≥3时a_m，a_m+1，a_m+2成等比数列不成立．最后综合可得正确结论．
点评：本题考查了数列的通项与求和公式，以及等比中项的概念，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．