Question

设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，且在[0，

π

2

]上单调递减，在[

π

2

，π]上单调递增，则函数y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零点个数为（　　）

• A、0
• B、10
• C、20
• D、40

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：把函数y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零点个数问题，转化为方程f（x）-sinx=0在[-10π，10π]上的根的个数问题，进一步转化为两个函数y=f（x）和y=sinx的交点个数问题，由题目给出的函数y=f（x）的性质作出其大致图象，作出正弦函数的图象，数形结合可得答案．

解答： 解：由函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，得：
函数f（x）的图象关于原点对称，
又由当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，
且在[0，

π

2

]上单调递减，在[

π

2

，π]上单调递增，
可作出函数f（x）图象的大致形状，
求函数y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零点个数，就是求方程f（x）-sinx=0的根的个数，
即求函数y=f（x）的图象与y=sinx图象交点的个数，如图，

函数y=f（x）的图象与y=sinx的图象交于x轴上方，
以正弦函数[-π，π]为一个周期，也正是函数y=f（x）的一个周期，在每个周期内两个函数图象有两个交点，
区间[-10π，10π]占10个周期长度，
因此在[-10π，10π]上总的交点个数为20个，
所以，函数y=f（x）-sinx在[-10π，10π]上的零点个数为20．
故选：C

点评：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了数形结合的解题思想，分析函数零点个数时，有时需要把一个函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题．是基础题．