Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E、F分别是棱AD，PC的中点
（1）求证：EF⊥平面PBC
（2）若直线PC与平面ABCD所成角为 ，点P在AB上的射影O在靠近点B的一侧，求二面角P﹣EF﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PB的中点G，连接AQ，FG，

∵PA=AB，∴AG⊥PB，

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，

∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥AG，

∵PB∩BC=B，

∴AG⊥平面PBC

∵E、F分别是棱AD，PC的中点，

∴FG∥AE，FG=AE，

∴四边形AEFG是平行四边形，

∴EF∥AG，

∴EF⊥平面PBC

（2）解：作PO⊥AB=0，则PO⊥平面ABCD，

连接OC，则∠PCO= ，

∴PO=OC，设AO=x，则 = ，解得x=2，

以O为原点，建立空间直角坐标系，

则P（0，0， ），A（﹣2，0，0），C（1，2，0），

D（﹣2，2，0），E（﹣2，1，0），F（ ），

，，

设平面PEF的法向量 ，

则 ，取x=1，得 =（1，﹣3，﹣ ），

设平面AEF的法向量 ，

∵ ，

∴ ，取a=1，得 ，

设二面角P﹣EF﹣A的平面角为α，

则cosα=|coss＜ ＞|=| |= ．

∴二面角P﹣EF﹣A的余弦值为 ．

【解析】（1）取PB的中点G，连接AQ，FG，则AG⊥PB，BC⊥AB，从而BC⊥平面PAB，BC⊥AG，由此能证明EF⊥平面PBC．（2）作PO⊥AB=0，连接OC，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣EF﹣A的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．