Question

【题目】某小区提倡低碳生活，环保出行，在小区提供自行车出租．该小区有40辆自行车供小区住户租赁使用，管理这些自行车的费用是每日92元，根据经验，若每辆自行车的日租金不超过5元，则自行车可以全部出租，若超过5元，则每超过1元，租不出的自行车就增加2辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x元只取整数，用f（x）元表示出租自行车的日纯收入（日纯收入=一日出租自行车的总收入﹣管理费用）
（1）求函数f（x）的解析式及其定义域；
（2）当租金定为多少时，才能使一天的纯收入最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：当0＜x≤5且x∈N*时，f（x）=40x﹣92

当x＞5且x∈N*时，f（x）=[40﹣2（x﹣5）]x﹣92=﹣2x2+50x﹣92

∴

其定义域为{x|x∈N*且x≤40}

（2）解：当0＜x≤5且x∈N*时，f（x）=40x﹣92，

∴当x=5时，f（x）max=108（元）

当x＞5且x∈N*时，f（x）=﹣2x2+50x﹣92=﹣2（x﹣ ）2+

∵开口向下，对称轴为x= ，

又∵x∈N*，∴当x=12或13时f（x）max=220（元）

∵220＞108，∴当租金定为12元或13元时，一天的纯收入最大为220元

【解析】（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．