Question

【题目】已知函数f（x）=x2+4ax+2a+6．
（1）若函数f（x）=log2 f（x）的最小值为2，求a的值；
（2）若对任意x∈R，都有f（x）≥0成立，求函数g（a）=2﹣a|a+3|的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=log2f（x）的最小值为2，即f（x）的最小值为4；

∵f（x）=x2+4ax+2a+6=（x+2a）2+2a+6﹣4a2≥4；

∴2a+6﹣4a2=4a=1 或 a=

（2）解：∵函数f（x）≥0恒成立，

∴△=16a2﹣4（2a+6）≤0，计算得出：﹣1 ；

∴g（a）=2﹣a|a+3|=2﹣a（a+3）=﹣（a+ ）2+ ；

∵g（a）在区间[﹣1， ]单调递减；

∴g（a）min=g（ ）=﹣ ，g（a）max=g（﹣1）=4．

∴函数g（a）的值域为[﹣ ，4]

【解析】（1）因为函数f（x）=log2 f（x）的最小值为2，即f（x）的最小值为4；关键在于2a+6﹣4a2=4．（2）函数f（x）≥0恒成立，所以△≤0；同时可得g（a）在区间[﹣1， ]单调递减，即可求出g（a）的值域．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．