Question

19．已知函数f（x）为偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，若f（2）=-1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）等于（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 4

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的关系求出函数f（x）是周期为4的周期函数，利用函数周期性以及关系式进行求解即可．

解答 解：f（x）为偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，
即f（x-1）是奇函数，
则f（-x-1）=-f（x-1）=f（x+1），
则-f（x）=f（x+2），
则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（2）=-1，
∴f（2）=-f（0）=-1，则f（0）=1，f（4）=f（0）=1，
∵-f（-3）=f（-3+2），
∴-f（3）=f（1），即f（1）+f（3）=0，
则在一个周期内f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
即f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）=504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，
故选：B．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．考查学生的计算能力．