Question

7．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）百元时，该商品的月供给量为y₁万吨，y₁=ax+$\frac{7}{2}$a²-a（a＞0）；月需求量为y₂万吨，y₂=-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1．当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．
（1）若a=$\frac{1}{7}$，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？
（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积，分类讨论，即可求解商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？
（2）设f（x）=y₁-y₂=ax+$\frac{7}{2}$a²-a-（-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1）=$\frac{1}{224}$x²+（$\frac{1}{112}$+a）x+$\frac{7}{2}$a²-a-1，因为a＞0，所以f（x）在区间（1，14）上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f（x）在区间[6，14）上有零点，即可得出结论．

解答 解：（1）若a=$\frac{1}{7}$，y₁=$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$，
y₂＞y₁，即-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1＞$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$，∵1＜x＜14，∴1＜x＜6，月销售量为y₁=$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$，
商品的月销售额等于（$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$）x，在（1，6）上单调递增，（$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$）x＜$\frac{33}{7}$；
y₂≤y₁，即-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1≤$\frac{1}{7}$x-$\frac{1}{14}$，∵1＜x＜14，∴6≤x＜14，月销售量为y₂=-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1，
商品的月销售额等于y=（-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1）x，y′=-$\frac{1}{224}$（x-8）（3x+28），
∴函数在（6，8）上单调递增，（8，14）上单调递减，x=8时，取得最大值$\frac{36}{7}$＞$\frac{33}{7}$，
∴商品的价格为8百元时，该商品的月销售额最大；
（2）设f（x）=y₁-y₂=ax+$\frac{7}{2}$a²-a-（-$\frac{1}{224}$x²-$\frac{1}{112}$x+1）=$\frac{1}{224}$x²+（$\frac{1}{112}$+a）x+$\frac{7}{2}$a²-a-1
因为a＞0，所以f（x）在区间（1，14）上是增函数，
若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f（x）在区间[6，14）上有零点，
所以f（6）≤0，f（14）＞0，?
所以0＜a≤$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查函数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．