Question

已知f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

；
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）试判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）当-1＜x＜0时，f(x)=-f(-x)=-

2-x

4-x+1

=-

2x

1+4x

，再由f（0）=0，能求出f（x）在（-1，1）上的解析式．
（2）函数f（x）在区间（-1，0）上为单调减函数．利用定义法进行证明即可．

解答：解：（1）∵f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，
当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

；
∴当-1＜x＜0时，0＜-x＜1，f(x)=-f(-x)=-

2-x

4-x+1

=-

2x

1+4x

，
又∵f（0）=0，
∴f(x)=

2x 4x+1 ，x∈(0，1) 0，x=0 - 2x 4x+1 ，x∈(-1，0)

…（6分）
（2）函数f（x）在区间（-1，0）上为单调减函数．
证明如下：
设x₁，x₂是区间（0，1）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1)-2x1(4x1+1)

(4x1+1)(4x2+1)

…（8分）
=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
因为2x2-2x1＞0，2x1+x2-1＞0，4x1+1＞0，4

x

2

+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数f（x）在区间（-1，0）上为单调减函数．…（12分）

点评：本题考查函数解析式的求法，考查函数单调性的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意定义法证明函数单调性的合理运用．