Question

【题目】如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直，长度分别为1，2，2.若（），且向量与夹角的余弦值为.

（1）求的值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题（1）以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出，的坐标，根据空间向量夹角余弦公式列出关于的方程可求；（2）设岀平面的法向量为，根据，进而得到，从而求出，向量的坐标可以求出，从而可根据向量夹角余弦的公式求出，从而得和平面所成角的正弦值.

试题解析：（1）依题意，以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系

，因为，所以，从而，则由，解得（舍去）或.

（2）易得，，设平面的法向量，

则，，即，且，所以，不妨取，则平面的一个法向量，又易得，故，所以直线与平面所成角的正弦值为.

考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.