【题目】如图,在四棱锥中,已知棱,,两两垂直,长度分别为1,2,2.若(),且向量与夹角的余弦值为.
(1)求的值;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题(1)以为坐标原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,写出,的坐标,根据空间向量夹角余弦公式列出关于的方程可求;(2)设岀平面的法向量为,根据,进而得到,从而求出,向量的坐标可以求出,从而可根据向量夹角余弦的公式求出,从而得和平面所成角的正弦值.
试题解析:(1)依题意,以为坐标原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系
,因为,所以,从而,则由,解得(舍去)或.
(2)易得,,设平面的法向量,
则,,即,且,所以,不妨取,则平面的一个法向量,又易得,故,所以直线与平面所成角的正弦值为.
考点: 1、空间两向量夹角余弦公式;2、利用向量求直线和平面说成角的正弦.
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【题目】如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,,,.
(1)在线段PA上找一点E,使得平面PCD,并证明;
(2)在(1)的条件下,若,求点E到平面PCD的距离.
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【题目】为了检测某种零件的一条生产线的生产过程,从生产线上随机抽取一批零件,根据其尺寸的数据分成,,,,,,组,得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间之外,则认为该零件属“不合格”的零件,其中,分别为样本平均和样本标准差,计算可得(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(1)若一个零件的尺寸是,试判断该零件是否属于“不合格”的零件;
(2)工厂利用分层抽样的方法从样本的前组中抽出个零件,标上记号,并从这个零件中再抽取个,求再次抽取的个零件中恰有个尺寸小于的概率.
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【题目】电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?
(2)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有2名女性,若从“超级体育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.
附:参考公式:.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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【题目】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边,,求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完成等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即.现有满足,且的面积,请运用上述公式判断下列命题正确的是
A.周长为
B.三个内角,,成等差数列
C.外接圆直径为
D.中线的长为
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【题目】在中,,,AB的垂直平分线分别交AB,AC于D、E(图一),沿DE将折起,使得平面平面BDEC(图二).
(1)若F是AB的中点,求证:平面ADE.
(2)P是AC上任意一点,求证:平面平面PBE.
(3)P是AC上一点,且平面PBE,求二面角的大小.
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【题目】已知平面向量满足,则以下说法正确的有( )个.
①;
②对于平面内任一向量,有且只有一对实数,使;
③若,且,则的范围为;
④设,且在处取得最小值,当时,则;
A.1B.2C.3D.4
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