Question

【题目】已知函数(其中是常数，且)，曲线在处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）若存在(其中是自然对数的底)，使得成立，求的取值范围；

（3）设，若对任意，均存在，使得方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）

【解析】

（1）求出在处的导数，利用斜率和函数值建立等式关系，则可求出的值. （2）由条件可知，原题等价于在上有解，设，即，求导求函数的最值，从而求出的取值范围. （3）通过求导分析的单调性和最值，分类讨论求出的取值范围.

（1），由题知，且，

解得；

（2）由（1）知，因为存在，使得，

即，设，则需，

，设，则在上恒成立，

即单调递增，又因为，所以在上恒成立，

即单调递增，所以，

令，解得；

（3），，

①当时，对任意，易知方程均仅有唯一解，

且当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

故方程最多有两个不同的实数解，所以不符合题意；

② 当时，若，则恒成立，单调递增，

方程最多只有一个实数解，不符题意，

所以对任意，应有，即，

此时，易知方程在上有两个不同的实数根，

因为，不妨取，则有，列表如下：

		极大值		极小值

由表可知，的极大值为，

因为，所以，

又因为，且，所以，

因为，所以必然存在，

使得方程在区间上均有一个实数解，符合题意；

综上所述，实数的取值范围为.