Question

【题目】已知函数 f (x) = x ex (xR)

（Ⅰ）求函数 f (x)的单调区间和极值;

（Ⅱ）若x (0, 1), 求证: f (2 x) > f (x);

（Ⅲ）若x1 (0, 1), x2(1, +∞), 且 f (x1) = f (x2), 求证: x1 + x2 > 2.

Answer 1

【答案】（1）在()内是增函数, 在()内是减函数.在处取得极大值且（2）见解析(3)见解析

【解析】

（Ⅰ）直接利用函数的导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可求函数f（x）的单调区间及极值；

（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）求出g（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x，通过x＞1，判断g（x）在[1，+∞）上是增函数，即可证明当x＞1时，f（x）＞f（2﹣x）；

（Ⅲ）因为x1，x2分别在（0，1）和（1，+∞）利用函数的关系式，证明x1+x2＞2．

解：=（1﹣x）e﹣x

令，则x=1

当x变化时，，f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，1）	1	（1，+∞）
	+	0	﹣
f（x）	↗	极大值	↘

∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数

∴f（x）在x=1处取得极大值；

（Ⅱ）证明：令g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）

则g（x）=xe﹣x﹣（2﹣x）ex﹣2

∴g（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x

∵当时, ,从而

所以,从而函数在是增函数.∵e﹣x＞0，∴g（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数

又∵g（1）=0∴0<x<1时,g（x）<g（1）=0

即当0<x<1时，f（x）<f（2﹣x）

(Ⅲ) 证明:∵

∴

由(Ⅱ)得:

∵

∴

∵在()内是减函数

∴

即