【题目】已知向量,向量
,且函数
.
(1)求函数的单调递增区间及其对称中心;
(2)在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c且角A满足
.若
,BC边上的中线长为3,求
的面积S.
(3)将函数的图像向左平移
个长度单位,向下平移
个长度单位,再横坐标不变,纵坐标缩短为原来的
后得到函数
的图像,令函数
在
的最小值为
,求正实数
的值.
【答案】(1)单调递增区间:,对称中心
;(2)
;(3)
【解析】
(1)根据平面向量数量积的定义,结合诱导公式及正余弦二倍角公式化简即可得函数解析式.进而求得单调区间及对称中心.
(2)将代入(1)中所得解析式,即可由
求得
.结合向量的加法与减法运算和BC边上的中线长,即可求得
.再根据三角形面积公式即可求解.
(3)根据函数的平移变换,即可求得的解析式.代入后表示出
的解析式.转化为关于
的二次函数性质,通过对
分类讨论并结合最小值,即可求得
的值.
(1)因为代入向量
,向量
,结合诱导公式及正余弦的二倍角公式化简可得
所以
函数的单调递增区间满足
解得
所以函数的单调递增区间为
令,解得
则对称中心
(2),得
,
则,
∴
又①,
BC上的中线长为3,则②
由①②知:
即,所以
∴
(3)由题意将函数的图像向左平移
个长度单位可得
向下平移个长度单位,可得
再横坐标不变,纵坐标缩短为原来的后得到函数
,则
则,
所以,
,
①当时,当
时,
有最小值
,解得
.
②当时,当
时,
有最小值
,
(舍去),
综上可得.
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【题目】给出下列命题,其中所有正确命题的序号是__________.
①抛物线的准线方程为
;
②过点作与抛物线
只有一个公共点的直线
仅有1条;
③是抛物线
上一动点,以
为圆心作与抛物线准线相切的圆,则此圆一定过定点
.
④抛物线上到直线
距离最短的点的坐标为
.
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【题目】对数函数(
且
)和指数函数
(
且
)互为反函数.已知函数
,其反函数为
.
(1)若函数定义域为
,求实数
的取值范围.
(2)若为定义在
上的奇函数,且
时,
.求
的解析式.
(3)定义在上的函数
,如果满足:对任意的
,存在常数
,都有
成立,则称函数
是
上的有界函数,其中
为函数
的上界.若函数
,当
时,探究函数
在
上是否存在上界
,若存在求出
的取值范围,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数 f (x) = x ex (xR)
(Ⅰ)求函数 f (x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若x (0, 1), 求证: f (2 x) > f (x);
(Ⅲ)若x1 (0, 1), x2(1, +∞), 且 f (x1) = f (x2), 求证: x1 + x2 > 2.
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
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【题目】某企业节能降耗技术改造后,在生产某产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据如表所示:
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为0.7x+a,若生产7吨产品,预计相应的生产能耗为( )吨.
A.5.25B.5.15C.5.5D.9.5
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【题目】如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径为
,
是圆心,且
.在
上有一座观赏亭
,其中
.计划在
上再建一座观赏亭
,记
.
(1)当时,求
的大小;
(2)当越大,游客在观赏亭
处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭
处的观赏效果最佳时,角
的正弦值.
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