Question

在△ABC中，已知sinB+sinC=sinA（cosB+cosC）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若角A所对的边a=1，试求△ABC内切圆半径的取值范围．

Answer 1

考点：三角形的形状判断

专题：计算题,解三角形

分析：（1）由已知等式利用正、余弦定理，化简，即可判断△ABC的形状；
（2）由△ABC为直角三角形，知内切圆半径r=

b+c-a

2

，利用角A所对的边a=1，结合三角函数，即可求△ABC内切圆半径的取值范围．

解答： 解：（1）由已知等式利用正、余弦定理得b+c=a（

a2+c2-b2

2ac

+

a2+b2-c2

2ab

），…（3分）
整理得（b+c）（b²+c²-a²）=0，
∴b²+c²=a²，
∴△ABC为直角三角形，且∠A=90°．           …（6分）
（2）由△ABC为直角三角形，
知内切圆半径r=

b+c-a

2

=

1

2

（sinB+sinC-1）=

1

2

（sinB+cosB-1），…（11分）
∵sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

）≤

2

，
∴0＜r≤

2 -1

2

．    …（14分）

点评：本题考查三角形的形状判断，考查正、余弦定理，考查辅助角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．