Question

6．定义在实数集上的函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=-x²+4x．
（1）求f（x）在R上的表达式；
（2）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）．

Answer 1

分析 （1）设x＜0时，则-x＞0，利用f（x）=f（-x），以及当x≥0时，f（x）=-x²+4x，求得x＜0时函数解析式，从而得出结论．
（2）根据函数的解析式求得y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间．

解答 解：（1）∵定义在实数集上的函数y=f（x）是偶函数，
当x≥0时，f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
设x＜0时，则-x＞0，
故f（x）=f（-x）=-（-x）²+4（-x）=-x²-4x=-（x+2）²，
综上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+4x，x≥0}\\{{-x}^{2}-4x，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）根据函数的解析式可得，当x=±2时，y=f（x）取得最大值为4，
结合f（x）的图象写出f（x）在R上的单调增区间为（-∞，-2]、[0，2]；
减区间为[-2，0]、[2，+∞）．

点评 本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，求函数的最值以及单调区间，属于基础题．