Question

18．若向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-1），则|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先将|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|转化为$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}}$，再将其进行化简，然后根据cosα的范围得出$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}}$的范围，可得最大值．

解答 解：|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{4\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a•}\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$，
因为${\overrightarrow{a}}^{2}$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$=1，${\overrightarrow{b}}^{2}$=$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=4，
所以上式=$\sqrt{4-4×1×2×cosα+4}$=$\sqrt{8-8cosα}$（α为$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角），
因为-1≤cosα≤1，所以0≤8-8cosα≤16．
所以0≤$\sqrt{8-8cosα}$≤4，
可得$\sqrt{8-8cosα}$的最大值为4．
即|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的最大值为4．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算，关键要懂得将|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|转化为$\sqrt{{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}}$，考查了计算能力，属于中档题．