Question

（1）画出函数y=|x|（x-4）的图象；　　
（2）利用图象回答：当k为何值时，方程|x|•（x-4）=k有一解？有两解？有三解？

Answer 1

解：（1）将函数化简，得：

∴当x≥0时，图象取开口向上的抛物线的y轴右侧，
当x＜0时，图象取开口向下的抛物线左侧
所得图象如右图 …
（2）在同一坐标系里作出直线y=k，它是一条与x轴平行的直线，
再根据k值的变化，来观察观察它与函数y=f（x）图象公共点的个数：
①当k＞0或k＜-4时，直线y=k与函数y=f（x）图象有唯一公共点
∴当k＞0或k＜-4时，方程|x|•（x-4）=k有一解 …
②当k=0或k=-4时，直线y=k与函数y=f（x）图象有两个公共点
∴k=0或k=-4时，方程|x|•（x-4）=k有两解 …
③当-4＜k＜0时，直线y=k与函数y=f（x）图象有三个公共点
∴当-4＜k＜0时，方程|x|•（x-4）=k有三解 …
综上所述：当k＞0或k＜-4时，原方程有一解；当k=0或k=-4时，原方程有两解；当-4＜k＜0时，原方程有三解．
分析：（1）根据绝对值的意义将函数去绝对值，化简为，再分x≥0与x＜0两部分对所作的抛物线进行截取，可得符合题意的图象；
（2）同一坐标系里作出y=f（x）与y=k的图象，然后根据k值的变化观察两图象的交点的个数，可得原方程解的个数，最后综合可回答提出的问题．
点评：本题考查了函数的图象与性质、函数图象的作法等知识点，属于中档题．遇到绝对值问题，根据定义去绝对值，是解题的常用思路，解题过程中还要注意分类讨论及最后的综合等细节．